Мобильная версия пока недоступна

К сожалению, сайт пока не адаптирован для мобильных устройств. Откройте его на компьютере или ноутбуке.

Немного неопределённости

5 мин Ур. 1γ 7 Тема

Расположение текста

Автозапуск анимаций Автоклавиатура уравнений Все настройки

Довольно часто приходится сталкиваться с задачами, в которых для части величин отсутствуют точные значения, но известна лишь какая-то пропорция между ними. Решать такие задачи частично или полностью приходится в общем виде, то есть преобразуя формулы без немедленной подстановки в них чисел. Мы будем подробно говорить об этом способе решения позже, а сейчас рассмотрим простой, но важный пример, отвечающий на вопрос "когда же средняя плотность всё-таки равна среднему арифметическому плотностей".

Приведём пример:

Средняя арифметическая плотность

Условия

В ёмкость налили бензин и машинное масло с плотностью \(\rho_{\text{м}} = 950\unit{{\text{кг}}/{\text{м}}^3}\) в равных объёмах. Чему равна средняя плотность такой смеси, если контракция (изменение объёма) этих жидкостей при смешивании ничтожно мала?

Плотность некоторых веществПлотность некоторых веществ, находящихся в твёрдом или жидком состоянии при комнатной температуре (кроме льда) и нормальном атмосферном давлении

Вещество	Плотность, \(\unit{{\text{кг}}/{\text{м}}^3}\)	Плотность, \(\unit{{\text{г}}/{\text{см}}^3}\)
Твёрдые вещества
Пробка	240	0,24
Сосна	500	0,50
Дуб	700	0,70
Лёд (при \(0\unit{\degree {\text{C}}}\))	920	0,92
Полиэтилен	950	0,95
Кирпич	1 800	1,80
Стекло	2 500	2,50
Бетон	2 400	2,40
Алюминий	2 700	2,70
Мрамор	2 700	2,70
Гранит	2 700	2,70
Железо	7 870	7,87
Сталь	7 800	7,80
Цинк	7 100	7,10
Олово	7 300	7,30
Медь	8 900	8,90
Латунь	8 500	8,50
Серебро	10 500	10,50
Свинец	11 300	11,30
Золото	19 300	19,30
Жидкости
Бензин	750	0,75
Этиловый спирт	790	0,79
Керосин	800	0,80
Растительное масло	920	0,92
Вода	1 000	1,00
Морская вода	1 025	1,025
Молоко	1 030	1,03
Глицерин	1 260	1,26
Мёд	1 400	1,40
Ртуть	13 600	13,60

Решение:

В этой задаче не известен точный объём ни бензина, ни масла, ни смеси, но мы знаем, что объёмы бензина и масла одинаковы (обозначим их просто \(V\)), а контракция очень мала, значит объём смеси можно считать равным \(2V\). Это классический пример использования модели, пренебрегающей некоторыми, очень слабыми, факторами.

Тогда масса порции бензина будет равна

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-1}{m_{\text{б}} = \rho_{\text{б}} V.}\tag{1}\end{equation}

Совершенно аналогично, масса порции масла равна

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-2}{m_{\text{м}} = \rho_{\text{м}} V.}\tag{2}\end{equation}

Общая масса смеси тогда равна

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-3}{m = \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{m_{\text{б}}} + \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{m_{\text{м}}} = \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{\rho_{\text{б}} V} + \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{\rho_{\text{м}} V} = (\rho_{\text{б}} + \rho_{\text{м}}) V.}\tag{3}\end{equation}

Наконец, среднюю плотность найдём из её определения:

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-4}{\rho = \frac{m}{2 V} = \frac{(\rho_{\text{б}} + \rho_{\text{м}}) \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{V}}{2 \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{V}} = \frac{\rho_{\text{б}} + \rho_{\text{м}}}{2} = \frac{750 + 950}{2} = 850\unit{{\text{кг}}/{\text{м}}^3}.}\tag{4}\end{equation}

Ответ:

\(\rho = \frac{\rho_{\text{б}} + \rho_{\text{м}}}{2} = 850\unit{{\text{кг}}/{\text{м}}^3}.\)

В результате, мы не только решили задачу, несмотря на отсутствие конкретных объёмов или масс хотя бы одного вещества, но попутно доказали важное соотношение: средняя плотность действительно будет равна среднему арифметическому двух плотностей тогда (а для двух разных веществ — и только тогда), когда несколько частей в составном теле (или смеси) имеют одинаковые объёмы. Обратите внимание, речь именно об одинаковых объёмах. Одинаковые массы при разных плотностях — это другое дело.

Резюме:

Во многих задачах конкретные значения части величин не даны, но их всё ещё можно решить, преобразуя формулы по правилам алгебры, которые справедливы для любых, даже неизвестных, чисел.
Средняя плотность будет равна среднему арифметическому плотностей, составляющих сложное тело, только тогда, когда объёмы частей, изготовленных из разных материалов одинаковы.

Журнал попыток Предыдущий шаг