Мобильная версия пока недоступна

К сожалению, сайт пока не адаптирован для мобильных устройств. Откройте его на компьютере или ноутбуке.

Задачи на аддитивность

Масса

6 мин Ур. 1γ 7 Тема

Расположение текста

Автозапуск анимаций Автоклавиатура уравнений Все настройки

Казалось бы, что может быть проще и самоочевиднее аддитивности массы. Стакан с водой весит столько же, сколько сам стакан плюс сама вода, эка невидаль. Но аккуратно используя одно только это свойство, можно решить некоторые задачи, требующие определённой смекалки. Иногда в задаче известны не напрямую массы частей, из которых требуется составить целое (как это было в задаче о контейнере), а массы некоторых других сочетаний тех же частей, что составляют искомое целое. В этом случае полезно уметь представить одну систему как результат сложения и вычитания других, известных систем. Давайте рассмотрим пример.

В решении ниже наводя указатель мыши на уравнения, вы можете увидеть дополнительные пояснения к ним, а щелчком мыши вы можете закрепить эти пояснения.

Два стакана

Условия

Стакан, заполненный водой наполовину, имеет массу \(300\unit{{\text{г}}}\), а полный стакан воды имеет массу \(420\unit{{\text{г}}}\). Определите массу пустого стакана.

Решение:

Решение, конечно, следует начать с записи "дано" и "найти", введения обозначений. Помимо указанных в "дано" и "найти", введём ещё одно дополнительное обозначение. Обозначим массу воды, вмещающейся в стакан, \(m_{\text{в}}\). С использованием аддитивности массы, выразим массы полного и заполненного наполовину стакана через массы пустого и воды:

\begin{align}&\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-1}{m_{\text{пуст}} + m_{\text{в}} = m_{\text{полн}} = 420\unit{{\text{г}}}}\tag{1}\\&\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-2}{m_{\text{пуст}} + \frac{1}{2}m_{\text{в}} = m_{1/2} = 300\unit{{\text{г}}}.}\tag{2}\end{align}

Легко видеть, что эти выражения почти одинаковые. Красивый (хотя далеко не единственный) способ решения подобной задачи состоит в том, чтобы домножить второе уравнение на \(2\). Тем самым, мы мысленно как бы рассматриваем два заполненных наполовину стакана: масса воды в них двух будет ровно такой же, как и в одном полном:

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-3}{2 m_{\text{пуст}} + m_{\text{в}} = 2 m_{1/2} = 600\unit{{\text{г}}}.}\tag{3}\end{equation}

А чем отличается один полный стакан от двух полупустых? В первом один стакан и одна "порция" воды. Во втором случае порция воды такая же, а стакана два. Значит, разница между этими случаями ровно на один пустой стакан (массу которого мы и хотели найти). Алгебраически эти рассуждения выражаются как вычитание уравнения (1) из уравнения (3):

\begin{equation}\class{exercise-example-equation-target exercise-example-equation-target-4}{\begin{alignedat}{2} 2m_{\text{пуст}}+m_{\text{в}} &{}=2m_{1/2} &&=600\unit{{\text{г}}} \\ \overset{\hspace{-20pt}-}{\phantom{2}}m_{\text{пуст}}+m_{\text{в}} &{}=m_{\text{полн}} &&=420\unit{{\text{г}}} \\ \hline \phantom{2}m_{\text{пуст}}\phantom{{}+m_{\text{в}}} &{}=2m_{1/2}-m_{\text{полн}} &&=180\unit{{\text{г}}} \end{alignedat}}\tag{4}\end{equation}

Ответ:

\(m_{\text{пуст}} = 180\unit{{\text{г}}}\)

Рассуждения, которые помогают нам решать задачи на аддитивность массы, похожи на рассуждения, которые помогали нам решать задачи на площади и объёмы сложных фигур. Во всех этих случаях мы ищем способ представить одно тело как сумму кусочков другого тела или тел, меры которых (масса, площадь, объём) нам так или иначе известны.

Резюме:

При решении задач на аддитивность следует разбивать сложные системы на части и, составляя из этих частей уравнения, стараться найти комбинацию известных систем, эквивалентную искомой.

Журнал попыток Предыдущий шаг