Мобильная версия пока недоступна

В начале этого урока мы сказали, что вычитание — операция, обратная к сложению. Точно так же деление — операция, обратная умножению. Разделить \(a\) на \(b\) — значит найти такое число, что результатом его умножения на \(b\) станет \(a\). А значит (за одним исключением) мы можем проводить такое же преобразование: переносить на другую сторону уравнения умножение на какое-либо число, превращая его в деление:

\[a = b \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-0 logic-fill}{\cdot c} \Leftrightarrow^* a \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-0 logic-fill}{/c} = b.\] Что это за исключение? Возможно, вы уже догадались. Это преобразование работает при дополнительном условии \(^*\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-0 logic-fill}{c} \neq 0\). Делить на ноль нельзя, и делать этого нельзя именно потому, что по самому определению деления разделить \(a\) на ноль⁠ означало бы найти такое число \(b\), что \[a = b \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-scope-0 logic-fill}{\cdot 0}.\] Но такое число нельзя "найти". Если \(a = 0\) — уравнение выше будет справедливо для любого \(b\), нечего и искать. Если же \(a \neq 0\) — ни для какого \(b\) это уравнение не будет справедливо. Поиски, опять-таки, бесполезны. Поэтому, строго говоря, условие преобразования должно выглядеть следующим образом:

\[a = b \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-1 logic-fill}{\cdot c} \textrm{ и } \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-1 logic-fill}{c \neq 0} \Leftrightarrow a \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-1 logic-fill}{/c} = b.\] Для математиков это очень важная деталь, пренебрежение которой влечёт огромное множество самых непредсказуемых ошибок. Физикам часто удаётся закрыть на эту деталь глаза, поскольку в большинстве физических формул мы можем догадаться, что величина \(\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-scope-1 logic-fill}{c}\) точно не будет равна нулю на основании каких-нибудь совершенно не математических рассуждений. К примеру, не бывает равна нулю масса никакого тела. Не бывает равен нулю и размер любого материального объекта, и многое другое. И всё-таки, об этом условии стоит помнить. Существуют, хотя и не так многочисленны задачи, в которых пренебрежение возможным появлением нуля в знаменателе имеет самые плачевные последствия.

Попробуйте сами!