Мобильная версия пока недоступна

В математике различают обратное и противоположное числа, хотя у этих понятий много общего. Число, противоположное числу \(x\) — это такое число, которое надо прибавить к \(x\), чтобы получить ноль, то есть \(-x\). Например, число, противоположное к числу \(5\) — это \(-5\), а к числу \(2/3\) — это \(-2/3\).

Число, обратное к \(x\) — это такое, на которое \(x\) надо умножить, чтобы получить \(1\), то есть \(1/x\). Например, число, обратное к числу \(5\) — это \(1/5\), а обратное к числу \(2/3\) — это \(3/2\). Понятие обратного числа (и обратной физической величины) будет встречаться нам особенно часто. Обратите внимание, при замене дроби на обратное число её числитель и знаменатель меняются ролями: дробь "переворачивается".

У каждого числа строго одно противоположное число, и строго одно обратное. Кроме нуля — у него обратного числа нет. Число, противоположное нулю — это сам ноль, а обратное единице — сама единица. Поэтому при алгебраических преобразованиях любого уравнения мы имеем право одновременно заменить обе части уравнения противоположными — и равенство сохранится. Например, выражение \[-t_0 = \Delta t - t\] удобно преобразовать, одновременно заменив обе стороны уравнения противоположными: \[t_0 = -\Delta t + t = t - \Delta t,\] а формулу \[\frac{h}{V} = \frac{1}{S}\] удобно преобразовать, заменив обе стороны уравнения обратными: \[\frac{V}{h} = \frac{S}{1} = S.\]

Эти преобразования не так уж нужны, когда у вас много опыта и вы сразу понимаете, что нужно сделать, чтобы выразить искомую величину, но очень помогают, когда вы ещё только начинаете изучать этот предмет и часто действуете не самым оптимальным образом. Например, у вас есть уравнение \[p = \frac{F}{S}\] и вы хотите выразить из него \(S\), самой удачной будет следующая последовательность действий:

1. Перенести деление на \(S\): \[pS = F.\] 2. Перенести умножение на \(p\): \[S = \frac{F}{p}.\]

Но школьники, зная, что они хотят выразить именно \(S\), часто начинают с переноса "мешающей" буквы \(F\): \[p = \frac{F}{S} \to \frac{p}{F} = \frac{1}{S}.\] Но теперь мы выразили не \(S\), а \(1/S\). Что делать? Проще всего "перевернуть дроби", то есть заменить обе стороны на обратные: \[\frac{p}{F} = \frac{1}{S} \to S = \frac{F}{p}.\] Здесь вместо символа \(\Leftrightarrow\) мы использовали символ \(\to\), подразумевая, что все указанные преобразования справедливы только пока ни один из знаменателей не равен нулю. Не везде дальше мы будем указывать это явно.