Мобильная версия пока недоступна

Вы, конечно, умеете вычитать друг из друга числа, но понимаете ли вы достаточно хорошо, что такое вычитание? Этот вопрос, на первый взгляд слишком простой, на самом деле отнюдь не бессмысленный. Чтобы играючи разбираться с физическими задачами, мы должны научиться совершать и преобразовывать действия в общем виде, а это требует понимания сущности вычитания на более глубоком уровне, чем необходим для того, чтобы делать его с конкретными числами. Прежде всего, для нас будет важно понять, что вычитание — это сложение наоборот.

Действительно, если прибавить к любому числу \(\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{a}\) какое-то число \(\class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{b}\), получив при этом \(\class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{c}\), а затем вновь отнять из результата \(\class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{b}\) — мы вернёмся к исходному числу \(\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{a}\). Например: \[\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{3} + \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{5} = \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{8},\] \[\class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{8} - \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{5} = \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{3}.\] Эта последовательность действий не имеет никаких исключений. Подставьте любые два числа на место \(a\) и \(b\) и убедитесь, что так работает всегда. Потому что эта последовательность действий на самом деле является определением вычитания. Вычесть \(b\) из \(c\) по определению означает найти такое число \(a\), к которому необходимо прибавить \(b\), чтобы получить \(c\). Больше того, это правило без исключений работает в обе стороны: \[\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{a} + \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{b} = \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{c} \Leftrightarrow \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill}{c} - \class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{b} = \class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{a}\] для любых \(a, b, c\). Двунаправленная стрелка \(\Leftrightarrow\) указывает, что из правой части выражения всегда следует левая, а из левой всегда следует правая. Некоторые другие правила преобразований работают, как мы увидим, в одну сторону.

Такие операции, как сложение и вычитание, называют обратными: их последовательное применение с одинаковым числом не меняет выражение. (Если сперва прибавить к чему-то \(x\), а потом его же отнять — результат будет равен исходному числу).