Мобильная версия пока недоступна

Ещё одна пара очень важных во всех практических отношениях фигур — окружность и круг. Напомним, что окружностью называется кривая, состоящая из всех точек плоскости, одинаково удалённых от некоторой центральной точки, а кругом — участок этой плоскости, состоящий из всех точек, удалённых от центральной точки не более чем на некоторую фиксированную величину. Эта величина называется радиусом круга или окружности и обозначается обычно \(R\). Иными словами, круг — это "наполнение" окружности, а окружность — это граница круга.

Коль скоро окружность — это только кривая, ограничивающая круг, площади у неё нет. С математической точки зрения она, как и любая другая кривая, бесконечно тонкая. Зато у неё есть длина, то есть линейный размер. Линейные размеры любых фигур обладают важным свойством: если фигуру растянуть в несколько раз, сохранив её пропорции — все её линейные размеры увеличатся в одинаковое число раз. Важно, что площади увеличатся при этом в другое число раз.

Например, если квадрат растянуть вдвое, но оставить квадратом — его стороны, его периметр и длины его диагоналей все увеличатся в \(2\) раза. А вот его площадь увеличится в \(4\). Мы ещё поговорим об этом подробнее, но сейчас сделаем из этого простой вывод: соотношения между линейными размерами одной и той же фигуры остаются неизменными, вне зависимости от её масштаба. Так, периметр любого квадрата ровно в \(4\) раза больше длины его стороны, а длина его диагонали больше длины его стороны всегда ровно в \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) раза.

Точно так же сохраняется всегда неизменным соотношение между тремя основными линейными размерами окружности:

• Радиусом \(R\), то есть расстоянием от центра до любой точки на самой окружности,
• Диаметром \(D\), то есть наибольшим расстоянием между двумя точками окружности
• И длиной окружности \(l\).

Исторически принято обозначать отношение длины окружности к её диаметру греческой буквой "пи": \[l = \pi D.\] Это первая из многих греческих букв, которые нам предстоит использовать. Запомните её название и начертание.

Численное значение \(\pi\) иррационально. Это, в частности, означит, что его невозможно записать конечной десятичной дробью, не сделав ошибки, но приблизительно оно равно \(3{,}14\). К счастью для физиков, ни одно наше вычисление всё равно не бывает абсолютно точным, поэтому такого приблизительного значения хватит почти всегда. Если вам любопытно — более точная (но никогда не абсолютно точная) запись этого числа будет выглядеть как \[\pi \approx 3{,}141592653589793238462643383279\dots\] Скорее всего, вам прекрасно известно, что диаметр окружности всегда в два раза больше её радиуса, поэтому чаще всего для вычисления длины окружности мы будем пользоваться формулой \[l = 2\pi R,\] связывающей длину именно с радиусом, а не с диаметром.