Мобильная версия пока недоступна

Чтобы разобраться с площадью круга, представим себе следующее мысленное построение. Разрежем круг на большое число \(N\) очень тонких секторов, как торт или пиццу, которую нужно разделить между множеством гостей. Если этих секторов достаточно много и все они очень тонкие — каждый из них будет похож на треугольник, высота \(h\)⁠ которого практически совпадает с радиусом \(R\)⁠ окружности, а основание практически равно \(a = 2\pi R/N\)⁠.

Значит, площадь \(s\) одного такого треугольника будет равна \[s = \frac{\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill logic-tight-right}{h}\class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-fill logic-tight-left}{a}}{2} = \frac{\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{R} \cdot \class{logic-mark logic-color-3 logic-group-3 logic-frame}{\class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{\cancel{2}\pi R}/ N}}{\cancel{2}} = \frac{\pi R^2}{N}.\] Но круг в целом состоит из \(N\) таких треугольников, значит его общая площадь \(S\) в \(N\) раз больше. Эту формулу можно представить как результат "раскручивания" круга в "пилу" из множества секторов, имеющую высоту \(\class{logic-mark logic-color-1 logic-group-1 logic-fill}{R}\) и длину основания \(\class{logic-mark logic-color-2 logic-group-2 logic-fill}{2\pi R}\). \[S = \pi R^2.\]

При этом пила занимает лишь половину параллелограмма с такими высотой и основанием, так что произведение высоты на основание приходится ещё разделить на два.

Чем больше число \(N\), на которое мы изначально разрезали круг, тем более точным оказывается это рассуждение, а поскольку \(N\) можно увеличивать неограниченно, оказывается, что оно приводит нас к полностью верной формуле: \[S = \pi R^2.\]